avangard-pressa.ru

Задача коши - Математика

Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n имеет вид:

(7.1)

где )- производные первого, второго, ... , n -го порядков от искомой функции y. Его решением является семейство функций

y = y(x,a1, a2, ... , an),

где a1, a2, ... , an - произвольные константы.

Например, простейшее дифференциальное уравнение имеет решение y = aex (рис.7.1). Каждому какому угодно значению параметра a соответствует своя функция, и все эти функции удовлетворяют исходному уравнению.

Рис.7.1. Семейство кривых - решение дифференциального уравнения y' = y Рис.7.2. Результат численного решения задачи Коши

Если в дополнение к уравнению (7.1) задать конкретные значения

для некоторого значения x0 в виде

; ; ;...; , (7.1’)

то тем самым определяется конкретный набор a1, a2, ... , an и, следовательно, единственная конкретная функция y(x,a1, a2, ... , an) из всего семейства решений.

Условия (7.1') называются начальными условиями, а вся задача, включающая дифференциальное уравнение (7.1) и начальные условия (7.1'), называется "задачей Коши".

Класс дифференциальных уравнений, позволяющих аналитическими методами получить решение, довольно узок. Например, уравнение y' = x2 + y2 не имеет аналитического решения. В большинстве практических задач функция F или коэффициенты, входящие в нее, могут содержать существенные нелинейности или даже задаваться в виде таблиц экспериментальных данных, и тогда аналитическое решение задачи Коши становится невозможным.

При численном решении задачи Коши необходимо задаваться границами xнач, xкон изменения аргумента x и величиной h, являющейся шагом его изменения, который определяет дискретность вычисления значений функции y = y(x).

Решение, полученное численным методом, есть таблица соответствующих значений (xi,yi), i = 0,1,2,...,n, где x0=xнач, xn= xкон; xi+1 = xi + h.