avangard-pressa.ru

Задача максимизации объема выпуска продукции - Производство

Задача максимизации объема производства состоит в том, чтобы определить максимальный объем выпуска продукции при заданных затратах ресурсов. Математически она формулируется следующим образом:

Y=f(x1,x2,…,xn)®max (6-19)

при условиях

q1*x1+q2*x2+…+qn*xn=C, (6-20)

x1>=0, x2>=0,…,xn>=0 (6-21)

Геометрически это означает, что нужно найти изокванту производственной функции y=f(x1,x2), которая касалась бы заданной изокосты q1*x1+q2*x2=C.

Для каждой изокванты характерны следующие свойства:

– изокванта, лежащая выше и правее другой, соответствует большему количеству произведенной продукции;

– изокванты не пересекаются;

– в экономической области изокванты имеют отрицательный наклон, т.е. они обращены выпуклостью к началу координат.

Рассмотрим некоторые производственные функции, которые часто используются при анализе поведения производителя:

· Линейная производственная функция имеет вид:

y=a1*x1+a2*x2+…+an*xn,

для которой а1>0, a2>0,…, an>0, т.е. предполагается линейная зависимость выпуска продукции от затрат факторов производства;

· Производственнная функция с постоянными параметрами. Такая функция задается соотношением:

y=min(x1/a1,x2/a2,…,xn/an), где a1>0, a2>0,…, an>0 ;

· Производственная функция Кобба-Дугласа. Фyнкция имеет вид y=A*x1a1*x2a2*…*xnan, где A>0, 0

· Производственная функция с постоянной эластичностью замены (CES). Такая функция имеет вид:

y=A*(B1*x1-p+…+Bn*xn-p)-g/p, для которой A>0, 0

Задачу максимизации объема выпуска продукции будем решать также методом множителей Лагранжа.

Функция Лагранжа данной задачи будет иметь вид:

F(x1,x2,…,xn,l2)=f(x1,x2,…,xn)+l2*(C-åqi*xi).

Условиями оптимальности будут:

¶F / ¶xj= ¶f / ¶xj-l2*qj=0, j=1,2,…,n;

¶F / ¶l2=C-åqi*xi=0

или

¶f / ¶xj=l2*qj, j=1,2,…,n; åqi*xi=C (6-22)

В точке максимума х* будут иметь место соотношения, аналогичные соответственным соотношениям в задаче минимизации издержек, а именно:

· предельные производительности ресурсов пропорциональны их ценам с коэффициентом пропорциональности l*2, т.е.:

¶f / ¶xj=(l*2)*qj, j=1,2,…,n;

· отношение предельных производительностей ресурсов равно отношению их цен, т.е.

( ¶f / ¶xj): (¶f / ¶xi)=qj:qi; j,i=1,2,…,n, j¹i;

· отношение предельных производительностей ресурсов к их ценам равны между собой, т.е.

(¶f / ¶xj)=l*2, j=1,2,…,n .

Определим экономический смысл множителя l*2. Полный дифференциал производственной функции будет:

dy=( ¶f / ¶x1)*dx1+( ¶ f / ¶x2)*dx2+…+( ¶f / ¶xn)*dxn. (6-23)

Так как в точке максимума х* имеет место соотношение:

¶f / ¶xj=(l*2)*qj (j=1,2,…,n), то

dy=(l*2)*(q1*dx1+q2*dx2+…+qn*dxn)=(l*2)*dZ=(l*2)*dC. (6-24)

Отсюда получаем dy/dZ=dy/dC=l*2. (6-25)

Таким образом, l*2 выражает дополнительный выпуск продукции в расчете на единицу общих затрат, т.е. он выражает общую предельную производительность ресурсов.

Таким образом, можно заключить, что l*1 и l*2 для рассматриваемых задач по смыслу взаимообратные. Поэтому указанные две задачи называют взаимными задачами для производителя.

Если в качестве С в задаче максимизации выпуска продукции взять Z*=Zmin, полученный в задаче минимизации издержек при у=у0, то максимальный объем выпуска продукции у*=у0, l*2=1/l*1, а точки оптимума совпадают.

Заключение

Технологическая связь между выпуском продукции и затратами задается функцией y=f(x)=f(x1,x2,…,xn), зависящей от n переменных, которую называют производственной функцией. А функцию С(y)=Zmin(y)=åqi*x*i(y) называют функцией издержек.

Задача минимизации издержек на производство продукции:

Z=åqi*xi®min

и задача максимизации объема выпуска продукции:

y=f(x1,x2,…,xn)®max

являются взаимными задачами для производителя.

Причем в точке оптимума как издержек, так и объема выпуска продукции наблюдаются следующие соотношения:

· предельные производительности ресурсов пропорциональны их ценам;

· отношение предельных производительностей ресурсов равно отношению их цен;

· отношение предельных производительностей ресурсов к их ценам равны между собой.

Геометрическое решение задачи определения максимально возможного выпуска при имеющихся у производителя денежных средствах, представленных изокостой, и заданной производственной функции, представленной семейством изоквант, состоит в следующем: нужно найти точку касания изокосты с наиболее удаленной изоквантой.

Контрольные вопросы к теме №6

1. Как определяется производственная функция.

2. Что такое технологическое множество.

3. Какие типы производственных функций вы знаете.

4. Дайте определение предельного продукта.

5. Как определяются средняя ресурсоотдача и ресурсоемкость.

6. Изокванта и ее свойства.

7. Изокоста и ее свойства.

8. Как определяются функции предложения.

9. Дайте классификацию издержек производства.

10. Как учитывается научно-технический прогресс при моделировании производства.